حل فعالیت صفحه 120 و کاردرکلاس صفحه 121 ریاضی نهم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه ۱۲۰ - فعالیت این فعالیت به ما یاد می‌دهد که جمع و تفریق عبارت‌های گویا دقیقاً مثل کسرهای معمولی است؛ اگر مخرج‌ها برابر باشند صورت‌ها را با هم جمع یا تفریق می‌کنیم، و اگر نابرابر باشند باید **مخرج مشترک** بگیریم. **الف) جمع با مخرج مشترک:** چون مخرج هر دو کسر $$x + 2$$ است، صورت‌ها را جمع می‌کنیم: $$\frac{3x + 2x + 7 - 3}{x + 2} = \frac{5x + 4}{x + 2}$$. *نمونه عددی مشابه:* $$\frac{3}{5} + \frac{4}{5} = \frac{7}{5}$$. **ب) تفریق با مخرج مشترک:** نکته بسیار مهم در تفریق، قرار دادن صورت کسر دوم در **پرانتز** است تا علامت منفی در هر دو جمله پخش شود: $$\frac{3x + 7 - 2x + 3}{x + 2} = \frac{x + 10}{x + 2}$$. *نمونه عددی مشابه:* $$\frac{7}{9} - \frac{2}{9} = \frac{5}{9}$$. **ج) مخرج‌های نابرابر (نیاز به تجزیه):** مخرج کسر اول $$(a - 2)(a + 2)$$ است. کسر دوم برای رسیدن به مخرج مشترک باید صورت و مخرجش در $$(a - 2)$$ ضرب شود: $$\frac{a^2 - 20 + (a - 2)(a - 2)}{(a - 2)(a + 2)} = \frac{a^2 - 20 + a^2 - 4a + 4}{a^2 - 4} = \frac{2a^2 - 4a - 16}{a^2 - 4}$$. حالا می‌توان از صورت فاکتور گرفت و ساده کرد. **د) مخرج‌های نابرابر (ضرب مخرج‌ها):** در اینجا مخرج مشترک حاصل‌ضرب دو مخرج است: $$(x + 2)(x + 4)$$. $$\frac{2(x + 4) - (x - 1)(x + 2)}{(x + 2)(x + 4)} = \frac{2x + 8 - (x^2 + x - 2)}{(x + 2)(x + 4)} = \frac{-x^2 + x + 10}{(x + 2)(x + 4)}$$.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه ۱۲۱ - کار در کلاس در این بخش به حل تمرینات جمع و تفریق عبارت‌های گویا می‌پردازیم. کلید اصلی حل این مسائل، ایجاد مخرج مشترک و استفاده از تجزیه است. **الف) $$\frac{x^2}{x-y} + \frac{y^2}{y-x}$$** در اینجا مخرج‌ها قرینه یکدیگر هستند ($$x-y$$ و $$y-x$$). برای یکسان کردن آن‌ها، علامت کسر دوم را تغییر می‌دهیم: $$\frac{x^2}{x-y} - \frac{y^2}{x-y} = \frac{x^2-y^2}{x-y}$$ حالا صورت را با اتحاد مزدوج تجزیه می‌کنیم: $$\frac{(x-y)(x+y)}{x-y}$$. با ساده کردن عامل مشترک، حاصل برابر با **$$x+y$$** می‌شود. **ب) $$\frac{6}{5x} - \frac{4}{x}$$** مخرج مشترک بین $$5x$$ و $$x$$، همان $$5x$$ است. پس صورت و مخرج کسر دوم را در ۵ ضرب می‌کنیم: $$\frac{6}{5x} - \frac{20}{5x} = \frac{6-20}{5x} = \frac{-14}{5x}$$ **ج) $$\frac{2x^2-16}{x^2-4} - \frac{x+4}{x+2}$$** ابتدا مخرج کسر اول را تجزیه می‌کنیم: $$(x-2)(x+2)$$. این مخرج مشترک ماست. کسر دوم را در $$(x-2)$$ ضرب می‌کنیم: $$\frac{2x^2-16 - (x+4)(x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{2x^2-16 - (x^2+2x-8)}{x^2-4} = \frac{2x^2-16-x^2-2x+8}{x^2-4} = \frac{x^2-2x-8}{x^2-4}$$ حالا صورت را تجزیه می‌کنیم: $$\frac{(x-4)(x+2)}{(x-2)(x+2)}$$. با ساده کردن $$(x+2)$$. حاصل نهایی: **$$\frac{x-4}{x-2}$$**. **د) $$\frac{7}{x^2-x-2} + \frac{x}{x^2+4x+3}$$** ابتدا مخرج‌ها را تجزیه می‌کنیم: $$x^2-x-2 = (x-2)(x+1)$$ $$x^2+4x+3 = (x+3)(x+1)$$ مخرج مشترک: $$(x+1)(x-2)(x+3)$$. $$\frac{7(x+3) + x(x-2)}{(x+1)(x-2)(x+3)} = \frac{7x+21+x^2-2x}{\dots} = \frac{x^2+5x+21}{(x+1)(x-2)(x+3)}$$